Розподіл Максвелла-Больцмана

Оригінал: https://faculty.wcas.northwestern.edu/infocom/Ideas/mbdist.html

Розподіл Максвелла-Больцмана — це рівняння, вперше отримане Джеймсом Клерком Максвеллом у 1859 році та розширене Людвігом Больцманом у 1868 році, яке дає ймовірність того, що будь-яка дана молекула газу в ідеальному газі буде рухатися з певною швидкістю. Незважаючи на те, що ми часто говоримо про ідеальний газ як про «постійну» температуру, очевидно, що насправді кожна молекула не може мати однакову температуру. Це тому, що температура пов’язана з молекулярною швидкістю, і помістити 10 20 молекул газу в закриту камеру і дозволити їм випадково стукатися одна об одну – це найкращий спосіб гарантувати, що всі вони не рухатимуться з однаковою швидкістю.

На графіку показана крива швидкості Максвелла-Больцмана для ідеального газу при двох температурах. Імовірність відкладається вздовж осі ординат у більш-менш довільних одиницях; швидкість молекули відкладено по осі х у м/с. Ця крива точно пов’язує (миттєву) швидкість молекули газу з відносною ймовірністю того, що вона матиме таку швидкість. Зауважте, що криві мають помітні піки, що відповідають найбільш ймовірній швидкості молекули та (приблизно) абсолютній температурі газу. Слід зазначити дві речі:

1) Криві Максвелла-Больцмана суттєво відрізняються для газу при 80°K і при 300°K. Коли газ стає холоднішим, його пік не тільки зміщується вліво (нижча температура = повільні молекули), але його пік також стає вищим і набагато вужчим. При нижчих температурах доступної енергії стає менше, тому молекули газу, як правило, мають слабкіші зіткнення та рухаються зі швидкостями, які не сильно відрізняються одна від одної. У межі, коли ідеальний газ дорівнює абсолютному нулю, молекули повністю припинили б рух і, отже, фактично мали б постійну швидкість.

2) При більш високих температурах криві Максвелла-Больцмана вирівнюються. Є більше доступної енергії, тому тепер існує набагато більше енергетичних зіткнень, за допомогою яких потенційно можна рухати молекулу набагато швидше, ніж середня швидкість. Зокрема, зверніть увагу на крайню праву область обох кривих. При 1000 м/с ймовірність того, що молекула T=80 матиме таку швидкість, по суті, дорівнює нулю. Але для T=300 ймовірність лише мала, а не нульова. Таким чином, навіть якщо відсоток T=300 молекул, що рухаються зі швидкістю 1000 м/с, є крихітним за будь-яким стандартом, співвідношення ймовірностей для газів T=300 і T=80 є досить великим, оскільки ділення на випадок T=80 майже те саме, що ділення на нуль. Іншими словами, відносно помірне підвищення температури в газі може збільшити кількість надзвичайно гарячих, малоймовірних молекул у сотні чи тисячі разів. Це виявляється критично важливим для виробництва енергії зірок, тему, яку я обговорю пізніше в курсі.