Кватерніонне представлення бінарної групи тетраедра

Оригінал: https://www.math.stonybrook.edu/~tony/bintet/quat-rep.html

(Деталі цього представлення належать Девіду Стоуну.)

Спочатку вибираємо зручне вкладення тетраедра в R^3. Маючи i,j,k стандартні одиничні вектори (їх також можна правильно інтерпретувати як одиничні кватерніони), ми розглядаємо правильний тетраедр із вершинами A = -ijk, B = -i+j+k, C = i-j+k і D = i+jk.

Симетрії третього порядку тетраедра (з точки зору перестановок вершин) породжуються
(BCD) = обертання на 120 градусів навколо A,
(ADC) = обертання на 120 градусів навколо B,
(ABD) = обертання на 120 градусів приблизно C, і
(ACB) = обертання на 120 градусів навколо D;

симетрії другого порядку:
(AB)(CD) = обертання на 180 градусів навколо i,
(AC)(BD) = обертання на 180 градусів навколо j і
(AD)(BC) = обертання на 180 градусів навколо k.

Відповідні SU(2) елементи шостого порядку є

+/- a, +/- a^2, +/- b, +/- b^2, +/- c +/- c^2, +/- d, +/- d^2,
де a = ( 1/2)(1+A), і аналогічно для b, c, d. Це дає

a = (1/2) ( 1- i- j- k),
b = (1/2) ( 1- i+ j+ k),
c = (1/2) ( 1+ i- j+ k),
d = (1/2) ( 1+ i+ j- k).

(Таким чином
a^2 = (1/2) (- 1- i- j- k),
b^2 = (1/2) (- 1- i+ j+ k),
c^2 = (1/2) (- 1+ i- j+ k),
d^2 = (1/2) (- 1+ i+ j- k).)

Відповідні елементи четвертого порядку є

+/- i, +/- j, +/- k;

1 і - 1 завершують список з 24 елементів.

Таблицю множення для двійкової групи тетраедра можна зручно розрахувати та записати в цій нотації.

This translation has been meticulously completed by ProThesisWriter, an online thesis writing service that not only specializes in academic writing but also aids in making academic materials accessible to a global audience. With a dedicated team onboard, we provide high-quality academic works for students, ensuring the integrity and precision of each project we undertake.